Как должно происходить распределение дежурств для каждого работника?

Здравствуйте, Эдуард.

График дежурства, отпусков медицинских работников должен утверждаться руководителем организации? 

Согласно «Трудовой кодекс Российской Федерации» от 30.12.2001 N 197-ФЗ(ред. от 11.10.2018)

Очередность предоставления оплачиваемых отпусков определяется ежегодно в соответствии с графиком отпусков, утверждаемым работодателем с учетом мнения выборного органа первичной профсоюзной организации не позднее чем за две недели до наступления календарного года в порядке, установленном статьей 372 настоящего Кодекса для принятия локальных нормативных актов

Как должно происходить распределение дежурств, (смен) для каждого работника? 

Что именно вы имеете в виду? исходя из чего для каждого по виду профессии либо по иным параметрам? по общему принципу: для всех одинаково

Должна ли производится выплата за сверхурочную работу, ночные смены?

ТК РФ говорит, что:

Статья 152. Оплата сверхурочной работы
Сверхурочная работа оплачивается за первые два часа работы не менее чем в полуторном размере, за последующие часы — не менее чем в двойном размере. Конкретные размеры оплаты за сверхурочную работу могут определяться коллективным договором, локальным нормативным актом или трудовым договором. По желанию работника сверхурочная работа вместо повышенной оплаты может компенсироваться предоставлением дополнительного времени отдыха, но не менее времени, отработанного сверхурочно.

Кроме того КС РФ в своём определении указал, что:

Определение Конституционного Суда РФ от 08.12.2011 N 1622-О-О
«Об отказе в принятии к рассмотрению жалобы гражданина Горкунова Александра Николаевича на нарушение его конституционных прав положением статьи 152 Трудового кодекса Российской Федерации»
Правила, установленные статьей 152 Трудового кодекса Российской Федерации, предусматривают оплату за первые два часа сверхурочной работы не менее чем в полуторном размере, за последующие часы — не менее чем в двойном размере, при этом конкретные размеры оплаты могут быть определены в коллективном договоре, локальном нормативном акте или в трудовом договоре; по желанию работника сверхурочная работа вместо повышенной оплаты может компенсироваться предоставлением дополнительного времени отдыха, но не менее времени, отработанного сверхурочно.
Из предписаний данной статьи в их взаимосвязи с положениями абзаца второго части второй статьи 22 и статей 132 и 149 Трудового кодекса Российской Федерации прямо следует, что сверхурочная работа должна оплачиваться в большем размере, чем работа, произведенная в пределах установленного работнику рабочего времени (об этом, в частности, свидетельствует и использование законодателем в статье 152 Трудового кодекса Российской Федерации термина «повышенная оплата» при установлении правила о возможности замены такой оплаты предоставлением работнику дополнительного времени отдыха). В противном случае не достигалась бы цель компенсации работнику повышенных трудозатрат и сокращения времени отдыха, нарушался бы принцип справедливости при определении заработной платы, а работодатель приобретал бы возможность злоупотребления своим правом привлечения работников к сверхурочной работе. Работники, выполняющие работу сверхурочно, оказывались бы в худшем положении по сравнению с теми, кто выполняет аналогичную работу в рамках установленной продолжительности рабочего времени, что противоречит принципу равной оплаты за труд равной ценности.
Таким образом, статья 152 Трудового кодекса Российской Федерации в системе действующего правового регулирования предполагает установление оплаты сверхурочной работы в размере, превышающем оплату равного количества времени при выполнении работником работы той же сложности в пределах установленной для него продолжительности рабочего времени (нормальное вознаграждение работника), соответственно, оспариваемое положение данной статьи направлено на защиту интересов работника, а потому не может рассматриваться как нарушающее конституционные права заявителя.